А.А. Вайман
Шумеро-вавилонская математика III-I тысячелетия до н.э.
// М.: ИВЛ. 1961. 278 с.
Оглавление
Глава I. Шумеро-вавилонские системы исчисления. — 7
Десятечно-шестеричная непозиционная система исчисления. — 7
Десятеричная непозиционная система исчисления. — 9
Шестидесятеричная позиционная система исчисления. — 12
Функциональное назначение шумеро-вавилонских систем исчисления. — 13
Происхождение шумеро-вавилонских систем исчисления. — 14
Дроби. — 18
Символическое обозначение чисел и числительные. — 19
Глава II. Шумеро-вавилонская метрология. — 21
Меры длины, площади, объёма и веса. — 21
Метрологические таблицы. — 25
Некоторые особенности обозначения мер. — 32
Глава III. Постоянные величины и списки обратных постоянных. — 35
Постоянные величины. — 35
Списки обратных постоянных. — 36
Эмпирические постоянные. — 38
Математические постоянные. — 50
Некоторые наиболее общие особенности обратных постоянных. — 35
Глава IV. Техника вычислений и вычислительные таблицы. — 53
Таблицы обратных величин. — 53
Таблицы умножения. — 59
Таблицы квадратов, корней квадратных и другие вычислительные таблицы. — 62
Вычислительные алгоритмы. — 65
Своеобразие вычислительной техники и степень её эффективности. — 76
Глава V. Арифметика. — 81
Термины и понятия четырёх арифметических действий. — 81
Арифметические задачи. — 85
Основные арифметические методы. — 99
Глава VI. Геометрия. — 103
Геометрические термины и понятия. — 103
Треугольник и трапеция. — 109
Круг. — 133
Стереометрия. — 136
Глава VII. Алгебра. — 147
Неполные квадратные уравнения типа (I). — 147
Полные квадратные уравнения типа (II) и (III). — 152
Системы уравнений канонического вида. — 159
Квадратные уравнения и алгебраические преобразования. — 168
Алгебраические сборники. — 174
Глава VIII. Составление задач и элементы теории чисел. — 182
Разложение составного числа на простые множители. — 182
Пифагоровы числа. — 184
Пифагоровы числа и деление прямоугольного треугольника на параллельные равновеликие полосы. — 192
Вавилонские числа и деление трапеции на параллельные попарно равновеликие полосы. — 195
Вавилонские числа и «ложные трапеции». — 202
Заключение. — 207
Приложения.
Приложение I. —215
A. LBA 1637. — 215
B. LBA 1631. — 218
C. LBA 1632. — 219
D. LBA 1633. — 220
E. LBA 1634. — 221
F. LBA 1635. — 222
G. LBA 1636. — 223
H. LBA 1638. — 225
I. LBA 1639. — 226
J. LBA 1641. — 227
К. VAT 2117. — 229
L. Эрм. 15073. — 232
М. UET III 1386. — 244
N. С 304. — 246
О. UET V 121. — 248
P. UET V 858. — 250
Q. UET 859. — 254
R. UET V 864. — 256
S. VAT 7531. — 258
Приложение II (Автографии и фотографии). — 264
Условные обозначения, применяемые в транскрипции и переводе. — 272
Библиография. — 273
Список сокращений. — 376
Введение. ^
В конце IV тысячелетия до н.э. в южной части Двуречья (современный Ирак) начали складываться государственные образования шумеров — народа, в значительной мере определившего дальнейшее культурное развитие древней Передней Азии. Так, шумеры изобрели клинопись — своеобразный вид письма, писчим материалом для которого служили глиняные таблички, а инструментом для нанесения клинообразных знаков — прямоугольная палочка. Позднее клинопись переняли и приспособили для своих языков другие народы Передней Азии — вавилоняне, ассирийцы, хетты, урарты, древние персы.Велики были достижения шумеров в области техники, искусства, литературы, метрологии и математики. Сложившаяся у них к концу III тысячелетия до н.э. система мер и весов просуществовала в древнем Двуречье в почти неизменном виде до начала I тысячелетия до н.э. и легла в основу ряда метрологических систем древней Передней Азии. Шумеры создали шестидесятеричную позиционную систему исчисления, которая дошла и до нашего времени; именно этой системой пользуются и сейчас, когда оперируют градусами (или часами), минутами и секундами.
В конце III тысячелетия, с падением государства III династии Ура — последнего шумерского государственного образования, шумеры теряют политическую самостоятельность и ассимилируются с вавилонянами, которые оказались достойными преемниками и продолжателями шумерской культуры. Так, заимствовав у шумеров клинопись, вавилоняне сумели весьма серьёзно усовершенствовать её и с успехом приспособить для своего языка, сильно отличавшегося по словарному составу и грамматике от шумерского. В частности, именно вавилоняне осуществили переход от преимущественно идеографического письма, при которрм понятие передаётся отдельным знаком, к слоговому. То же самое можно сказать и о других областях шумеро-вавилонской культуры. Математика, например, достигла своего наивысшего расцвета и оформилась, по-видимому, в самостоятельную отрасль знаний как раз в первой четверти
(3/4)
II тысячелетия до н.э., в эпоху наивысшего подъёма вавилонского государства.
Со II тысячелетия роль ведущей политической и военной силы Передней Азии играли ассирийцы, которые продолжали культурные традиции шумеров и вавилонян. Однако в математику ассирийцы внесли мало нового; эта область знаний была преимущественно разработана шумерами и вавилонянами. С середины I тысячелетия до н.э. ассирийцы и вавилоняне постепенно сходят с арены политической жизни. Сначала они были завоеваны персами, а после падения персидской монархии, в середине IV в. до н.э., вошли в состав селевкидского государства, основанного одним из преемников Александра Македонского.
Однако с утратой политической самостоятельности вавилоно-ассирийская культура не исчезает. Клинопись, например, просуществовала до первых веков нашей эры. Не был забыт также язык изобретателей клинописи — шумеров, которым пользовались в ряде случаев при религиозных обрядах. Интересно, что персидским и селевкидским временем датируются многие клинописные силлабарии — своеобразные шумеро-вавилонские словари. Очевидно, именно в персидское время в древнем Двуречье возникает новая область научного знания — вычислительная астрономия, которая известна нам по большому количеству клинописных табличек. Сохранились также древние математические традиции. Только в начале нашей эры шумеро-вавилоно-ассирийская культура прекращает самостоятельное существование.
Источники изучения шумеро-вавилонской математики. ^
Единственным источником исследования шумеро-вавилонской математики язляются глиняные клинописные таблички, добытые при археологических раскопках городов и селений или случайно найденные местными жителями среди древних развалин. Большинство клинописных текстов — хозяйственные документы (в настоящее время известны десятки тысяч таких документов), но и они представляют интерес при изучении истории математики.
Наибольшее значение для исследования шумеро-вавилонской математики имеют математические клинописные тексты,содержащие школьные задачи — арифметические, геометрические и алгебраические. Таких текстов известно мало (опубликовано не более 150-160), тем не менее в них содержится огромный материал. На одной и той же табличке часто бывает записан целый ряд задач, не всегда однотипных. Таковы, например, клинописные математические тексты ВМ 85194 (35 задач), ВМ 85196 (18 задач),
(4/5)
ВМ 13901 (24 задачи) и др. На некоторых табличках зафиксировано даже более 100 задач (см., например, YBC 4668 — на ней 148 задач), но в этих случаях приводятся только их условия.
Важным источником изучения шумеро-вавилонской математики являются также клинописные вычислительные таблицы; умножения, обратных величин, квадратов чисел, квадратных корней и т.д. Таких вспомогательных математических текстов известно более 200.
Некоторые сведения по истории математики удаётся почерпнуть из метрологических текстов, содержащих различные таблицы мер длины, площади и т.д.
Изучение клинописных математических текстов. ^
Историко-математическому исследованию клинописного математического документа предшествует палеографическая и филологическая обработка текста. Табличка фотографируется, затем от руки снимается копия текста и дается его транскрипция, т.е. все клинописные знаки записываются при помощи общепринятой среди ассириологов системы символов, основанной на латинском алфавите. Фотография текста, прорисовка (автография) и транскрипция при публикации документа в подавляющем большинстве случаев вполне заменяют подлинник.
Палеографическая и филологическая обработка текста завершается переводом, на основе которого осуществляется историко-математическое изучение документа. Если филологическое исследование доступно только специалисту-ассириологу, то историко-математическое исследование при наличии перевода уже может быть осуществлено историком математики, не имеющим специальных познаний в клинописи.
Историко-математическое изучение документа делится на два этапа. На первом этапе буквальный перевод текста как бы заменяется математическим, вскрывающим существо рассматриваемой задачи. Дело в том, что на основании одного только условия задачи, из-за расплывчатости шумеро-вавилонских математических терминов, часто трудно бывает понять, что именно имел в виду древний математик, и, чтобы дать современную формулировку условия, приходится также проанализировать решение. При отсутствии же решения возникает ещё больше трудностей. Предлагая математическое толкование задачи, удобно пользоваться современной символикой. Это, конечно, ни в коем случае не модернизация древних математических представлений, а исследовательский приём, допустимый на этапе чисто математического толкования текста.
На втором этапе делается попытка, к сожалению не всегда удачная, воспроизвести ход рассуждений автора изучаемого
(5/6)
текста. Математическое толкование документа, как правило, нельзя отождествлять с рассуждениями, которые привели древнего математика к определённому решению задачи. Решение изложено в подлиннике очень лаконично и в подавляющем большинстве случаев сводится к ряду арифметических выкладок над заданными величинами, которые приводят к искомому результату. Анализируя задачу, все подобные выкладки можно свести к одной или нескольким формулам и показать, что они могут быть выведены из условия задачи. Но к одной и той же формуле часто можно прийти различными путями. Поэтому цель историко-математического исследования заключается в том, чтобы найти именно те рассуждения, которыми руководствовался автор текста. Это, пожалуй, наиболее трудная часть работы, ибо приходится учитывать различные особенности текста, в том числе и такие, которые на первый взгляд кажутся второстепенными. Иногда изучаемый текст не даёт достаточных оснований, чтобы из нескольких возможных толкований выбрать то, которое соответствует рассуждениям древнего математика. Тогда приходится прибегать к аналогиям с другими документами. Однако необходимо стремиться к тому, чтобы историко-математическое толкование текста обосновывалось данными этого же текста.
Конечная цель исследования — обнаружить общие понятия и методы, присущие шумеро-вавилонской математике, и выявить закономерности её развития.
* * *
Автор считает своим долгом выразить благодарность акад. В.В. Струве, проф. А.П. Юшкевичу и историку В.Н. Андрееву, ознакомившимся с рукописью книги и предложившим ряд ценных поправок; руководителям отдела Востока Государственного Эрмитажа профессорам Б.Б. Пиотровскому и М.Э. Матье и учёному секретарю К.А. Ракитиной за помощь при работе над рукописью.
Автор особенно благодарен ассириологу д-ру ист. наук И.М. Дьяконову за консультации по филологическому изучению клинописных математических текстов.
наверх
|